"Quando però le esaminai, mi avvidi che, quanto alla Logica, i suoi sillogismi e la maggior parte dei suoi precetti servono più a spiegare agli altri quanto già si conosce o, addirittura - come l'arte di Lullo - a parlare senza discernimento delle cose che si ignorano anziché insegnarle". L'Analisi degli Antichi e l'Algebra dei moderni, dice Cartesio, si riferiscono "esclusivamente a materie astrattissime che sembrano inutili", la prima talmente vincolata a figure "da non poter esercitare l'intelletto senza affaticare molto l'immaginazione", la seconda assoggettata a tali calcoli e regole da "diventare un'arte complicata e oscura, che confonde la mente". Da qui, per Cartesio, la necessità della ricerca di "qualche altro Metodo", che presenti i vantaggi di quelle scienze senza condividerne i difetti.

In quello stesso periodo, la nuova geometria cartesiana si accompagna alla nascita, per mano di Desargues e Blaise Pascal, di una nuova branca della matematica, la geometria proiettiva che si fonda sulla tradizione classica dello studio delle coniche e sulla tecnica della prospettiva elaborata dagli artisti del Rinascimento per la rappresentazione dello spazio. "Prima di arrivare a questo eccezionale periodo di produzione scientifica, qual era lo stato in cui si trovava la geometria?" Quali le questioni e le metodologie che caratterizzano il procedere teorico del "geometra" rinascimentale?

Come mostra Paolo Freguglia in questo impegnativo saggio, il problema del metodo che Cartesio affronta nel Discorso domina la ricerca matematica tra Cinquecento e Seicento. È il problema dello "statuto della conoscenza scientifica", e in particolare, il problema "degli strumenti e delle modalità da utilizzare per la costruzione di teorie matematiche". Nel secolo che separa l'Ars Magna (1545) di Cardano, il manifesto della "grande arte" dell'algebra, dalla Geometria di Cartesio, i temi e i metodi della geometria, che Freguglia analizza con grande ricchezza di dettagli, contribuiscono a creare i presupposti della "rivoluzione scientifica" che, con Galileo, segna la nascita della moderna scienza.

Attento agli aspetti logici e fondazionali, Freguglia si sofferma in particolare sulle dimostrazioni geometriche, invitando il lettore a seguirlo nella riscoperta dei metodi dell'analisi e della sintesi della tradizione greca, ripresi dai geometri del Rinascimento. Egli considera dapprima le figure di Maurolico e di Clavio, i due studiosi che con le loro edizioni e i loro commenti ebbero un ruolo determinante nella riedificazione rinascimentale del corpus matematico classico, soffermandosi sul tentativo di Clavio di dimostrare il postulato euclideo delle parallele e su alcuni aspetti della geometria sferica di Teodosio nella rielaborazione data da Maurolico. Ma la geometria rinascimentale presenta una pluralità di temi e di metodi. Nelle mani di Cavalieri e Torricelli la tradizione archimedea porta a nuovi e suggestivi metodi per il calcolo delle aree delle figure piane e dei volumi dei solidi. Anche l'algebra, la creazione degli arabi e dei maestri d'abaco medioevali, ha tra Cinquecento e Seicento "un rapporto privilegiato con la geometria", osserva a ragione Freguglia. Se il ricorso a interpretazioni di natura geometrica sembra conferire il necessario rigore alle procedure algebriche, è la potenza del formalismo che finisce per imporsi sui vincoli posti dalla geometria. Le equazioni algebriche si lasciano agevolmente interpretare in termini geometrici fino al terzo grado. Oltre, l'immaginazione vien meno, e con lei il soccorso della geometria euclidea piana e solida. Sarà Cartesio a rivelare "un modo nuovo di intendere le costruzioni geometriche delle equazioni algebriche". Collocata sul crinale tra tradizione e innovazione, la sua Geometria rappresenta la sintesi di un'epoca e apre una nuova stagione del pensiero matematico.